Babić je dijete Sutjeske, prošao je sve mlađe selekcije Sutjeske da bi nakon toga igrao za Grbalj i Bokelj.

Poslednje dvije sezone, dvadesetdvogodišnji defanzivac je proveo u ekipi Budućnosti.
Anto je takođe nastupao za sve mlađe selekcije Crne Gore.